mat540 Differentialgeometrie (Vollständige Modulbeschreibung)

Modulbezeichnung

Differentialgeometrie

Modulkürzel

mat540

Kreditpunkte

9,0 KP

Verantwortliche Einrichtung

Institut für Mathematik

Zuständige Personen

Modulverantwortung:

Daniel Grieser, Konstantin Pankrashkin, Boris Vertman

Teilnahmevoraussetzungen

Empfohlene Vorkenntnisse

Analysis I-III (bzw. Math. Meth. Physik), Lineare Algebra

Unterrichtsprachen

Deutsch, Englisch

Lernergebnisse/Kompetenzen

Systematische Vertiefung und Erweiterung der im Bachelorstudium erlangten Kenntnisse und Fähigkeiten zur Mathematik
Vernetzung des eigenen mathematischen Wissens durch Herstellung auch inhaltlich komplexer Bezüge zwischen den verschiedenen Bereichen der Mathematik
Kennenlernen ganzer Theorien und damit verbundene Beherrschung komplexer mathematischer Methoden und Techniken
Stärkung des mathematischen Urteilsvermögens und des akademischen Selbstvertrauens durch sowohl breite als auch vertiefte Kenntnis der Reinen und Angewandten Mathematik
Kenntnis der geometrischen Grundbegriffe zu Kurven und Flächen wie erste und zweite Fundamentalform, Krümmungsbegriffe, kovariante Ableitung, Parallelverschiebung, Geodätische
Kenntnis der Grundbegriffe der Analysis auf Mannigfaltigkeiten wie Tangentialraum, Vektorfelder, Lie-Klammer, Tensoren
Kenntnis der Grundbegriffe der Riemannschen Geometrie, wie Levi-Civita Zusammenhang, Riemannscher Krümmungstensor
Kennenlernen und Verstehen des Zusammenspiels von Differentialrechnung und Linearer Algebra in der Untersuchung gekrümmter Kurven und Flächen sowie Riemannscher Mannigfaltigkeiten
Verstehen des Unterschieds von innerer und äußerer Geometrie
Kenntnis fundamentaler Sätze wie Theorema Egregium, Satz von Gauß-Bonnet
Fähigkeit zum Rechnen sowohl in lokalen Koordinaten als auch mit invarianten Größen
Erkennen inhaltlicher Zusammenhänge zu Themen der Analysis I-III und der Linearen Algebra
Enge Beziehungen zu komplexer Geometrie, globaler Analysis

Modulinhalte

Wie berechnet man, wie stark eine Kurve oder Fläche 'gekrümmt' ist?
Warum muss jede ebene Landkarte eines Gebietes auf der Erde verzerrt sein?
Wie bestimmt man für zwei Punkte auf einer Fläche die kürzeste Verbindungslinie, die innerhalb der Fläche verläuft?
Themen im Einzelnen: Kurven und Flächen im Raum: Krümmung und Torsion von Kurven; 1. und 2. Fundamentalform sowie Gauß- und mittlere Krümmung von Flächen, innere Geometrie von Flächen, Theorema egregium von Gauß, Parallelverschiebung, Geodätische, Satz von Gauß-Bonnet, Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Tensoren, kovariante Ableitung, Riemannscher Krümmungstensor

Literaturempfehlungen

W. Kühnel, Differentialgeometrie, Springer Spektrum
M. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Springer Vieweg
M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
C. Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter
B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry, Birkhäuser

Zu erbringende Leistungen

Prüfungsart, -umfang, -dauer

Klausur oder mündliche Prüfung oder Fachpraktische Übung (KMÜ)

Prüfungszeiten

nach Ende der Vorlesungszeit

Dauer in Semestern

1 Semester

Angebotsrhythmus

regelmäßig

Workload

Arbeitsaufwand gesamt	Davon Präsenzzeit
270 h

Lehrveranstaltungsform

Veranstaltungsart	SWS	Angebotsrhythmus	Workload Präsenzzeit
Vorlesung	4	--	56 h
Übung	2	--	28 h

Zusätzliche Hinweise

Studienschwerpunkt: A

Aufnahmekapazität:
unbegrenzt

Lehr-/Lernform:
Vorlesung + Übung

Verwendbarkeit des Moduls

Master Mathematik > Mastermodule

Modulart

Wahlpflicht / Elective

Modullevel

MM (Mastermodul / Master module)