mat325 - Einführung in die Differentialgeometrie (Vollständige Modulbeschreibung)

• Exemplarisches Kennenlernen weiterer mathematischer Gebiete und damit Erweiterung des eigenen mathematischen Wissens
• Vertiefung, auch exemplarisch, der im Grundlagenbereich erworbenen Kenntnisse
• Vertiefung, auch exemplarisch, der in den Aufbaubereichen erworbenen Kenntnisse
• Kennenlernen eines klassischen Gebietes der Mathematik, das mehr als hundert Jahre besteht ohne an Bedeutung zu verlieren
• Vernetzung des eigenen mathematischen Wissens durch Herstellung von Bezügen zwischen verschiedenen mathematischen Bereichen
• Kenntnis der geometrischen Grundbegriffe zu Kurven und Flächen wie erste und zweite Fundamentalform, Krümmungsbegriffe, kovariante Ableitung, Parallelverschiebung, Geodätische
• Kennenlernen und Verstehen des Zusammenspiels von Differentialrechnung und Linearer Algebra in der Untersuchung gekrümmter Kurven und Flächen
• Verstehen des Unterschieds von innerer und äußerer Geometrie
• Kenntnis fundamentaler Sätze wie Theorema Egregium, Satz von Gauß-Bonnet
• Fähigkeit zum Rechnen sowohl in lokalen Koordinaten als auch mit invarianten Größen
• Erkennen inhaltlicher Zusammenhänge zu Themen der Analysis I-III und der Linearen Algebra

Wie berechnet man, wie stark eine Kurve oder Fläche 'gekrümmt' ist?
Warum muss jede ebene Landkarte eines Gebietes auf der Erde verzerrt sein?
Wie bestimmt man für zwei Punkte auf einer Fläche die kürzeste Verbindungslinie, die innerhalb der Fläche verläuft?
Themen im Einzelnen: Kurven und Flächen im Raum: Krümmung und Torsion von Kurven; 1. und 2. Fundamentalform sowie Gauß- und mittlere Krümmung von Flächen, innere Geometrie von Flächen, Theorema egregium von Gauß, Parallelverschiebung, Geodätische, Satz von Gauß-Bonnet.

W. Kühnel, Differentialgeometrie, Springer Spektrum
M. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Springer Vieweg
C. Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter
 

nach Ende der Vorlesungszeit

In diesem Modul können Bonuspunkte erworben werden. Die Einzelheiten werden zu Beginn der Veranstaltung mit den Studierenden besprochen und festgelegt.

1 Klausur (max. 3 Std.) oder 1 mündliche Prüfung (max. 30 Min.) oder Fachpraktische Übung